1 Combinação Simples no R

1.1 Objetivos

Usar uma população florestal de 🌳Khaya Ivorensis🌳 hipotética (Aula3-AAS.Rmd) como base para demonstrar o uso da combinação simples no contexto do inventário florestal por amostragem.
Demonstrar funções existentes na linguagem R para obter os resultados (quantas e quais combinações possíveis?) de uma análise de combinação simples.

1.2 Características da população hipotética

Em relação à população florestal hipotética será admitido que:

A população florestal de 🌳Khaya Ivorensis🌳 possui 15 anos de idade, e foi implantada usando o espaçamento 5m x 5m e pleno sol. Sob este espaçamento são possíveis estabelecer até 400 árvores por hectare.
A população florestal é um retângulo de 500m x 200m, ou seja, com área total de 10 hectares. (Obviamente, na natureza ter-se-á polígonos irregulares!)
A população florestal será subdividida em áreas de 100m x 100m (1 hectare). Portanto, o número de parcelas possíveis na população será igual a 10 (N = 10). (Será útil na AAS!)

1.3 Amostragem Aleatória Simples - AAS

Suponha que você (Engenheiro Florestal) foi consultado para realizar um inventário florestal no povoamento de 🌳Khaya Ivorensis🌳 com o objetivo de quantificar o volume de madeira nos 10 hectares.
Existe duas opções: Censo ou Amostragem? Qual você escolheria e porque?
Inventário Piloto: Em inventários florestais por amostragem é comum a realização de Inventários Pilotos (IP), com um número reduzido de unidades de amostras, com fins de capturar a variabilidade da variável de interesse. Esse IP pode (ou não) ser considerado inventário definitivo (ID) a depender da precisão requerida, e entre outros fatores.
Na população florestal de 🌳Khaya Ivorensis🌳 hipotética, se admitido o uso de parcelas amostrais de 100m x 100m (1ha), seria possível estabelecer 10 parcelas no povoamento. (Ver aula Aula3-AAS.Rmd) (Ver Figura)

Perfeito! Sabe-se que o número de parcelas possíveis de 1ha (100m x 100m) na população florestal de 🌳Khaya Ivorensis🌳 é 10. Se a decisão for por usar amostragem, por exemplo, amostragem aleatória simples, poder-se-ia simplesmente fazer um sorteio sem reposição das parcelas que serão medidas. Porém, é necessário definir, a priori, quantas parcelas serão amostradas no IP.
Então, suponha a decisão de sortear 2 parcelas amostrais dentre as 10 possíveis. A figura a seguir é apenas uma das possibilidades de combinação do sorteio sem reposição. Admita que foram sorteadas as parcelas 4 e 7, cujos volumes de madeira por parcela foi \(145m^3\) e \(143m^3\), respectivamente.

Mas, veja que a amostra sorteada (4 e 7) é apenas uma possibilidade dentre as várias combinações possíveis de amostras de mesmo tamanho (n = 2).
Portanto, teoricamente, o número de amostras de tamanhos k = 2 tomadas de n = 10 elementos pode ser determinado por combinação simples.

\[\begin{equation*} \normalsize C_{n,k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} \\~\\~\\ C_{10,2} =\frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{(10).(9).(8!)}{2!(8!)} = \frac{(10).(9)}{2} = \color{blue}{45} \end{equation*}\]

Assim, seria possível obter 45 amostras diferentes de tamanho k = 2 a partir das 10 parcelas possíveis na população florestal.
Na linguagem R, pode-se usar a função choose(n, k) para encontrar o total de combinações simples possíveis. Em que: n = número de observações (No caso, número de parcelas possíveis); e k = tamanho da amostra.

choose(n = 10, k = 2)

[1] 45

Mas, quais são essas combinações possíveis?

combn(1:10, 2)

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]
[1,]    1    1    1    1    1    1    1    1    1     2     2     2     2     2
[2,]    2    3    4    5    6    7    8    9   10     3     4     5     6     7
     [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
[1,]     2     2     2     3     3     3     3     3     3     3     4     4
[2,]     8     9    10     4     5     6     7     8     9    10     5     6
     [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38]
[1,]     4     4     4     4     5     5     5     5     5     6     6     6
[2,]     7     8     9    10     6     7     8     9    10     7     8     9
     [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45]
[1,]     6     7     7     7     8     8     9
[2,]    10     8     9    10     9    10    10

Pode-se transpor para visualizar melhor as combinações:

t(combn(1:10, 2))

      [,1] [,2]
 [1,]    1    2
 [2,]    1    3
 [3,]    1    4
 [4,]    1    5
 [5,]    1    6
 [6,]    1    7
 [7,]    1    8
 [8,]    1    9
 [9,]    1   10
[10,]    2    3
[11,]    2    4
[12,]    2    5
[13,]    2    6
[14,]    2    7
[15,]    2    8
[16,]    2    9
[17,]    2   10
[18,]    3    4
[19,]    3    5
[20,]    3    6
[21,]    3    7
[22,]    3    8
[23,]    3    9
[24,]    3   10
[25,]    4    5
[26,]    4    6
[27,]    4    7
[28,]    4    8
[29,]    4    9
[30,]    4   10
[31,]    5    6
[32,]    5    7
[33,]    5    8
[34,]    5    9
[35,]    5   10
[36,]    6    7
[37,]    6    8
[38,]    6    9
[39,]    6   10
[40,]    7    8
[41,]    7    9
[42,]    7   10
[43,]    8    9
[44,]    8   10
[45,]    9   10