Inventário Florestal (FL03039

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# .font120[Inventário Florestal <br> (FL03039 - EF)]

## <span><i class="fab  fa-pagelines faa-horizontal animated " style=" color:green;"></i></span> Amostragem Estratificada<span><i class="fab  fa-pagelines faa-horizontal animated " style=" color:green;"></i></span> <br>  ᨒ
###### Teoria e Estimadores

##### 〰〰〰〰〰〰🌳〰〰〰〰〰〰
##### ᨒ
##### .font120[**Prof. Dr. Deivison Venicio Souza**]
##### Universidade Federal do Pará (UFPA)
##### Faculdade de Engenharia Florestal
##### Laboratório de Manejo Florestal, Tecnologias e Comunidades Amazônicas
##### E-mail: deivisonvs@ufpa.br
<br>
##### 1ª versão: 16/maio/2025 <br> (Atualizado em: 08/junho/2025) <br> Altamira, Pará

---
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<div class="my-header"></div>
<div class="my-footer"><span>Prof. Dr. Deivison Venicio Souza (E-mail: deivisonvs@ufpa.br)&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp; <div3>Inventário Florestal (FL03039 - EF)</div3>/ <div2>Amostragem Estratificada</div2> </div>

---

## 📚 Ementa da disciplina (FL03039 - EF)
<br>
.shadow4[
.font80[
1 - Introdução aos Inventários Florestais;

2 - Amostragem em Inventários Florestais;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.1 - Conceitos Básicos e Principais Estimadores;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.2 - Métodos de Amostragem;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.3 - Amostragem Aleatória Simples - AAS;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**2.4 - Amostragem Estratificada - AE**;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.5 - Amostragem Sistemática - AS;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.6 - Amostragem em Dois Estágios - ADE; e

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.7 - Amostragem em Conglomerados - AG.

3 - Censo Florestal (Inventário Florestal 100%);

4 - Amostragem em Múltiplas Ocasiões;

5 - Inventário Florestal Nacional; e

6 - Planejamento e Custos de Inventários Florestais.

]
]

---

## 🎯 Objetivos
<br><br>
.font90[
Ao final desta aula espera-se que o discente seja capaz de...

* Compreender os conceitos básicos associados à Amostragem Estratificada (AE); e
* Conhecer os principais estimadores da AE.
]

---

## 📙 Conteúdo

.pull-left-4[
.pull-top[
**Parte 1 - AE: Fundamentos Teóricos**
.font80[

[1 - Definição](#def)

[2 - Quando usar a AE?](#qua)

[3 - Relação: Variância, intensidade amostral e custo](#rel)

[4 - Critérios para estratificação](#ce)

[5 - Vantagens e desvantagens da AE](#vd)

]
]
]

.pull-right-4[

**Parte 2 - Estimadores da AE**

.font80[

[1 - Principais Estimadores da AE](#peae)

&nbsp;&nbsp;[1.1 - Média Aritmética por Estrato](#mae)

&nbsp;&nbsp;[1.2 - Média Estratificada](#me)

&nbsp;&nbsp;[1.3 - Variância e Desvio Padrão por Estrato](#vde)

&nbsp;&nbsp;[1.4 - Variância Estratificada](#ve)

&nbsp;&nbsp;[1.5 - Variância e Erro Padrão da Média Estratificada](#vepme)

&nbsp;&nbsp;[1.6 - Intensidade Amostral (ou Suficiência Amostral)](#ia)

&nbsp;&nbsp;[1.7 - Erro de Amostragem (absoluto e %)](#ea)

&nbsp;&nbsp;[1.8 - Intervalo de Confiança para Média Estratificada](#icme)

&nbsp;&nbsp;[1.9 - Total por Estrato e População](#tep)

&nbsp;&nbsp;[1.10 - Intervalo de Confiança Para o Total da População](#icptp)

]
]

---
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name: if
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.font150[.yellow2[**Amostragem Estratificada** <br> .orange[**(Fundamentos Teóricos)**]]]

---
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<div class="my-header"></div>
<div class="my-footer"><span>Prof. Dr. Deivison Venicio Souza (E-mail: deivisonvs@ufpa.br)&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;<div3>Amostragem Estratificada - AE</div3>/ <div2>Parte 1 - Fundamentos Teóricos</div2> </div>

---
name: def
## 🌳 Amostragem Estratificada
<br>

.shadow1[
### Definição
.font90[
**Processo de amostragem** que consiste na divisão da população florestal em **estratos** (subpopulações) **não superpostos**, que sejam **mais homogêneos** em termos de distribuição da **variável de interesse**. Em seguida, a distribuição das unidades de amostra é realizada de forma aleatória dentro de cada estrato (Queiroz, 1998; Soares et al., 2011).
]
]

---
name: qua
## 🌳 Amostragem Estratificada
<br>

.shadow1[
### AAS versus AE: Quando usar?
.font90[
- **Amostragem Aleatória Simples**: recomendada quando a população florestal .blue[for homogênea] quanto à distribuição da .blue[variável de interesse].
- **Amostragem Estratificada**: recomendada quando a população florestal .blue[não for homogênea] quanto à distribuição da .blue[variável de interesse].
<br>

**Fonte:** (Soares et al., 2011)
]
]

---
name: rel
## 🌳 Amostragem Estratificada

.shadow1[
### Relação: Variância, intensidade amostral e custo
.font90[

- Quanto .blue[**>**] a variância da variável de interesse, .blue[**>**] será a intensidade amostral (n) e .blue[**>**] será o tempo e o custo da amostragem.

👉 > Variância da variável de interesse

👉 > Intensidade de amostragem (n)

👉 > Tempo e custo da amostragem

- Portanto, em condições de heterogeneidade da variável de interesse, estratificar o povoamento florestal é uma abordagem eficiente:

👉 < Variância da variável de interesse dentro dos estratos

👉 < Intensidade de amostragem (n)

👉 < Tempo e custo da amostragem

]
]

---
name: ce
## 🌳 Amostragem Estratificada

.pull-left-4[
.shadow1[
### Critérios para estratificação
.font90[
- Em campo, a variável de interesse pode variar em função das características do povoamento florestal ou sítio. Portanto, nessas situações é comum usar algum critério de estratificação.
]
]
]

.pull-right-4[
<img src="fig/class6/ce.jpg" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />
]

---

## 🌳 Amostragem Estratificada

.shadow1[
### Qual melhor critério de estratificação?
.font90[
- A .blue[estratificação com base na variável de interesse] é seguramente o procedimento mais eficiente (Scolforo e Mello, 1997). Portanto, sempre que possível, a variável a ser estimada no IF deve ser usada como critério de estratificação (Péllico Netto e Brena, 1997). 
- Por exemplo, se o .blue[volume por hectare] é a variável de interesse a ser estimada, é desejável estratificar o povoamento florestal em função das classes de volume (Soares et al., 2011).
]
]

---
name: vd
## 🌳 Amostragem Estratificada

.pull-left-4[
.shadow1[
### Vantagens da estratificação
.font80[
- **Estimativas por estrato**: Permite obter estimativas da média e variância populacional por estrato.
- **Intensidade amostral**: Para uma igual intensidade amostral, as estimativas usando a AE são mais precisas do que àquelas obtidas com AAS (**Em condições de heterogeneidade!**);
- **Custos**: AE tem menor custo de amostragem, pois existe uma diminuição da intensidade amostral (n) para atingir uma mesma precisão do que as necessárias à AAS.
<br>

**Fonte:** Scolforo e Mello, (1997)
]
]
]

.pull-left-4[
.shadow1[
### Desvantagens da estratificação
.font80[
- O tamanho de cada estrato deve ser bem definido.
(**Trabalho adicional!**)
]
]
]

---
layout: false
name: if
class: inverse, middle, center
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background-size: cover

.font150[.yellow2[**Amostragem Estratificada** <br> .orange[**(Estimadores)**]]]

---
name: peae
## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada
<br>

.pull-left-12[
**Os principais estimadores da AE são:**
]

.pull-right-12[
.font80[
| **Estimador (do Parâmetro)**                          | **Símbolo**                |
|-------------------------------------------------------|:----------------------------:|
| 1 - Média Aritmética por Estrato                                  | `$\bar{X}_h$`                  |
| 2 - Média Estratificada                                         | `$\bar{X}_{st}$`                      |
| 3 - Variância por Estrato                                     | `$S^2_h$`                        |
| 4 - Desvio Padrão por Estrato                           | `$S_h$`                        |
| 5 - Variância Estratificada                              | `$S^2_{st}$`                        |
| 6 - Variância da Média Estratificada                          | `$S^2_{\bar{X}(st)}$`             |
| 7 - Erro Padrão da Média Estratificada                          | `$S_{\bar{X}(st)}$`              |
| 8 - Intensidade Amostral por Estrato e Total                         | `$n~e~n_h$`  
| 9 -  Erro de Amostragem (absoluto e %)                                | `$\left(E_a~ou~E_r \right)$` |
| 10 - Intervalo de Confiança para Média Estratificada                 | `$IC_{\bar{X}(st)}$`             |
| 11 - Total por Estrato e População                               | `$\hat{X_h}~e~\hat{X}$`                  |
| 12 - Intervalo de Confiança para o Total da População | `$IC_{\hat{X}}$`             |
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
### Notações
]

.pull-left-9[
<br>
.font80[
`$X_{ih}$` = Variável de interesse

`$L$` = Número de estratos da população

`$h$` = Estrato

`$a$` = Área da parcela

`$N_h$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas no estrato h (.blue[**1**])

`$N$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas na população (.blue[**2**])

`$n_h$` = Número total de parcelas alocadas no estrato h

`$n$` = Número total de parcelas alocadas na população florestal (.blue[**3**])

`$A_h$` = Área total do estrato h

`$A$` = Área total da população florestal (.blue[**4**])
]
]

.pull-right-9[
<br>
$$
`\begin{equation}
\small
N_h = \frac{A_h}{a}
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\small
N = \sum_{h=1}^{L}N_h
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\small
n = \sum_{h=1}^{L}n_h
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\small
A = \sum_{h=1}^{L}A_h
\end{equation}`
$$

]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
### Notações
]

.pull-left-9[
<br>
.font80[

`$W_h$` = Proporção do estrato h na população florestal (.blue[**5**])

`$w_h$` = Proporção do estrato h na amostra total (.blue[**6**])

`$f_h$` = Fração amostral do estrato h (.blue[**7**])

`$f$` = Fração amostral da população (.blue[**8**])
]
]

.pull-right-9[
<br>
$$
`\begin{equation}
\small
W_h = \frac{N_h}{N} = \frac{A_h}{A}
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\small
w_h = \frac{n_h}{n}
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\small
f_h = \frac{n_h}{N_h}
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\small
f = \frac{n}{N}
\end{equation}`
$$

]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

<br><br>
.shadow1[
.font80[
### Notações
- **Exemplo**: Imagine um povoamento florestal de .blue[*Eucalyptus citriodora*], pertencente à empresa "Florestal", com .blue[diferentes idades] (9, 11 e 13 anos) e .blue[tamanhos] (136, 180 e 120 hectares), respectivamente. O povoamento foi implantado sob o mesmo espaçamento e classe de sítio para produção de madeira serrada. Agora, suponha que a empresa esteja interessada em .blue[estimar o volume de madeira] das árvores em pé nos povoamentos de diferentes idades. Para isso, realizou um IF piloto e estabeleceu 6, 8 e 4 parcelas de 100 m x 100 m nas idades 9, 11 e 13, respectivamente.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada
<br>

.shadow3C[
.font80[
**Abordagem**: Estratificar a área em função da idade dos plantios.
]
]

.pull-left-4[
<br><br>
<img src="fig/class6/euc2.jpg" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right-4[
<br>
- **Notações**
.font80[
`$X_{ih}$` = Volume por hectare (`$m³.ha^{-1}$`)

`$L$` = `$3$` estratos

`$h$` = (`$h_1$` = estrato 1), (`$h_2$` = estrato 2), (`$h_3$` = estrato 3)

`$a$` = `$1~ha$` (`$10.000~m²$`)

`$n_h$` = (`$n_{h1}$` = 6), (`$n_{h2}$` = 8), (`$n_{h3}$` = 4)

`$n$` = `$n_{h1} + n_{h2} + n_{h3} = 18$`

`$A_h$` = (`$A_{h1} = 136~ha$`), (`$A_{h2} = 180~ha$`), (`$A_{h3} = 120~ha$`)

`$A$` = `$A_{h1} + A_{h2} + A_{h3} = 436~ha$`

]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada
<br>

.shadow3C[
.font80[
**Abordagem**: Estratificar a área em função da idade dos plantios.
]
]

.pull-left-4[
<br><br>
<img src="fig/class6/euc3.jpg" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right-4[
- **Notações**
.font80[
👉 Número de parcelas possíveis de serem alocadas em cada estrato h e na população

$$
\normalsize
`\begin{equation*}
N_{h1} = \frac{A_{h1}}{a} = \frac{136~ha}{1~ha} = \textbf{136}~\color{magenta}{parcelas} \\~\\
N_{h2} = \frac{A_{h2}}{a} = \frac{180~ha}{1~ha} = \textbf{180}~\color{magenta}{parcelas} \\~\\
N_{h3} = \frac{A_{h3}}{a} = \frac{120~ha}{1~ha} = \textbf{120}~\color{magenta}{parcelas}
\end{equation*}`
$$
$$
\normalsize
`\begin{equation*}
N = \sum_{h=1}^{L}N_h = 136 + 180 + 120 = \textbf{436}~\color{magenta}{parcelas}
\end{equation*}`
$$
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada
<br>

.shadow3C[
.font80[
**Abordagem**: Estratificar a área em função da idade dos plantios.
]
]

.pull-left-4[
<br><br>
<img src="fig/class6/euc2.jpg" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right-4[
- **Notações**
.font80[
👉 Proporção de cada estrato h na população florestal

$$
\normalsize
`\begin{equation*}
W_{h1} = \frac{136~ha}{436~ha} \approx
\textbf{0,3119} \approx \textbf{31,19}~\color{magenta}{\%} \\~\\
W_{h2} = \frac{180~ha}{436~ha} \approx
\textbf{0,4128} \approx \textbf{41,28}~\color{magenta}{\%} \\~\\
W_{h3} = \frac{120~ha}{436~ha} \approx
\textbf{0,2752} \approx \textbf{27,52}~\color{magenta}{\%}
\end{equation*}`
$$
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada
<br>

.shadow3C[
.font80[
**Abordagem**: Estratificar a área em função da idade dos plantios.
]
]

.pull-left-4[
<br><br>
<img src="fig/class6/euc2.jpg" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right-4[
- **Notações**
.font80[
👉 Proporção de cada estrato h na amostra total
<br>

$$
\normalsize
`\begin{equation*}
w_{h1} = \frac{n_{h1}}{n} =  \frac{6}{18} \approx
\textbf{0,3333} \approx \textbf{33,33}~\color{magenta}{\%}\\~\\
w_{h2} = \frac{n_{h2}}{n} = \frac{8}{18} \approx
\textbf{0,4444} \approx \textbf{44,44}~\color{magenta}{\%}\\~\\
w_{h3} = \frac{n_{h3}}{n} = \frac{4}{18} \approx
\textbf{0,2222} \approx \textbf{22,22}~\color{magenta}{\%}
\end{equation*}`
$$
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada
<br>

.shadow3C[
.font80[
**Abordagem**: Estratificar a área em função da idade dos plantios.
]
]

.pull-left-4[
<br><br>
<img src="fig/class6/euc3.jpg" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right-4[
- **Notações**
.font80[
👉 Fração amostral de cada estrato h e população
<br>

$$
\normalsize
`\begin{equation*}
f_{h1} = \frac{n_{h1}}{N_{h1}} = \frac{6}{136} = \textbf{0,0441} \approx \textbf{4,41}~\color{magenta}{\%} \\~\\
f_{h2} = \frac{n_{h2}}{N_{h2}} = \frac{8}{180} = \textbf{0,0444} \approx \textbf{4,44}~\color{magenta}{\%} \\~\\
f_{h3} = \frac{n_{h3}}{N_{h3}} = \frac{4}{120} = \textbf{0,0333} \approx \textbf{3,33}~\color{magenta}{\%}
\end{equation*}`
$$
$$
\normalsize
`\begin{equation*}
f = \frac{n}{N} = \frac{18}{436} \approx \textbf{0,0413} \approx \textbf{4,13}~\color{magenta}{\%}
\end{equation*}`
$$

]
]

---
name: ma
## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Média aritmética amostral por estrato
.font90[
👉 Estimar a média populacional `$\mu_h$` (média amostral de cada estrato `$h$`) para a variável de interesse `$X$`, baseado nas unidades amostrais de cada estrato `$h$`.

`\begin{equation}
\large
\bar{X}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h}X_{hi}
\end{equation}`

- `$\bar{X}_h$` (lê-se: X-barra "agá") = estimador da média aritmética populacional `$\mu_h$` (lê-se: "mi") no estrato `$h$` ou média amostral no estrato `$h$`.
- `$n_h$` = número de parcelas alocadas no estrato `$h$`.
- `$\Sigma$` (sigma maiúscula) = símbolo de somatório. 
- `$X_{hi}$` = `$i$`-ésimo valor da variável `$X$` nas unidades amostrais do estrato `$h$`.

]
]

---
name: ma
## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Média amostral estratificada
.font80[
👉 Estimar a média populacional `$\mu$` estratificada (média amostral estratificada) da variável de interesse `$X$`, baseado em todas as unidades amostrais alocadas nos diferentes estratos. Matematicamente, consiste em ponderar a média amostral de cada estrato `$h$` pelo seu respectivo tamanho.

`\begin{equation}
\large
\bar{X}_{est} = \sum_{h=1}^{L}\frac{N_h}{N}\bar{X_h} = \sum_{h=1}^{L}W_h\bar{X_h}
\end{equation}`

- `$\bar{X}_{est}$` (lê-se: X-barra "est") = estimador da média aritmética populacional estratificada (`$\mu_{est}$`) ou média amostral estratificada.
- `$N_h$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas no estrato `$h$`.
- `$N$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas na população.
- `$\bar{X}_h$` = estimador da média aritmética populacional `$\mu_h$` no estrato `$h$`.
- `$W_h$` = Proporção do estrato `$h$` na população florestal.
]
]

---

name: ma
## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

<br>

.shadow1[
## Média amostral x Média estratificada
.font80[
👉 A média amostral `$\bar{X}$` e a média estratificada `$\bar{X}_{est}$` somente serão coincidentes quando a fração amostral for idêntica para todos os estrato.
]
]

---
name: dp
## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Variância amostral por estrato
.font90[
👉 Estimar a variabilidade (ou dispersão) da variável de interesse `$X$` entre as unidades amostrais do estrato `$h$`.

`\begin{equation}
\large
S_h^2 = \frac{1}{n_{h} - 1}\sum_{i=1}^{n_h}\left (X_{hi} - \bar{X_h}  \right )^2
\end{equation}`

- `$S_h^2$` (lê-se: S-quadrado "agá") = estimador da variância populacional no estrato `$h$` (`$\sigma^2_h$`) ou variância amostral no estrato `$h$`.
- `$n_h$` = número de parcelas alocadas no estrato `$h$`.
- `$X_{hi}$` = `$i$`-ésimo valor da variável `$X$` nas unidades amostrais do estrato `$h$`.
- `$\bar{X_h}$` = estimativa da média aritmética populacional `$\mu$` no estrato `$h$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Desvio padrão amostral por estrato
.font90[
👉 Estimar a variabilidade (ou dispersão) da variável de interesse `$X$` entre as unidades amostrais do estrato `$h$`. Porém, **é expresso na mesma unidade de medida da variável de interesse.**

`\begin{equation}
\large
S_h = \sqrt{\frac{1}{n_{h} - 1}\sum_{i=1}^{n_h}\left (X_{hi} - \bar{X_h} \right )^2}
\end{equation}`

- `$S_h$` (lê-se: S "agá") = estimador do desvio padrão populacional no estrato `$h$` (`$\sigma_h$`) ou desvio padrão amostral no estrato `$h$`.
- `$n_h$` = número de parcelas alocadas no estrato `$h$`.
- `$X_{hi}$` = `$i$`-ésimo valor da variável `$X$` nas unidades amostrais do estrato `$h$`.
- `$\bar{X_h}$` = estimativa da média aritmética populacional `$\mu$` no estrato `$h$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Coeficiente de variação amostral por estrato
.font90[
👉 Estimar a variabilidade (ou dispersão) da variável de interesse `$X$` entre as unidades amostrais do estrato `$h$`. Porém, expresso em termos relativos (em %).

`\begin{equation}
\large
CV_h = \frac{S_h}{\bar{X_h}} \left( 100 \right)
\end{equation}`

- `$CV_h$` = estimador do coeficiente de variação populacional no estrato `$h$` ou coeficiente de variação amostral no estrato `$h$`.
- `$S_h$` = estimativa do desvio padrão populacional `$\sigma$` no estrato `$h$`.
- `$\bar{X_h}$` = estimativa da média aritmética populacional `$\mu$` no estrato `$h$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Variância amostral estratificada
.font90[
👉 Estimar a variância populacional `$\mu$` estratificada (variância amostral estratificada) da variável de interesse `$X$`, baseado em todas as unidades amostrais alocadas nos diferentes estratos.

`\begin{equation}
\large
S^2_{est} = \sum_{h=1}^{L}W_h S_h^2
\end{equation}`

- `$S^2_{est}$` (lê-se: S-Quadrado "est") = estimador da variância populacional estratificada (`$\sigma^2_{est}$`) ou variância amostral estratificada.
- `$W_h$` = Proporção do estrato `$h$` na população florestal.
- `$S_h^2$` = estimador da variância populacional `$\sigma^2$` no estrato `$h$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Variância da média estratificada
.font90[

`\begin{equation}
\large
S^2_{\bar{X}(est)} = \sum_{h=1}^{L}W_h^2 \frac{S_h^2}{n_h} - \sum_{h=1}^{L} \frac{W_h S_h^2}{N}
\end{equation}`

- `$S^2_{\bar{X}(est)}$` (lê-se: S-Quadrado "X-barra est") = estimador da **variância da média populacional estratificada** (`$\sigma^2_{\mu(est)}$`) ou variância da média estratificada amostral.
- `$W_h$` = Proporção do estrato `$h$` na população florestal.
- `$S_h^2$` = estimador da variância populacional `$\sigma^2$` no estrato `$h$`.
- `$n_h$` = número de parcelas alocadas no estrato `$h$`.
- `$N$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas na população.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Erro padrão da média estratificada
.font90[

`\begin{equation}
\large
S_{\bar{X}(est)} = \sqrt{\sum_{h=1}^{L}W_h^2 \frac{S_h^2}{n_h} - \sum_{h=1}^{L} \frac{W_h S_h^2}{N}}
\end{equation}`

- `$S_{\bar{X}(est)}$` (lê-se: S "X-barra est") = estimador do **erro padrão da média populacional estratificada** (`$\sigma_{\mu(est)}$`) ou erro padrão da média estratificada amostral.
- `$W_h$` = Proporção do estrato `$h$` na população florestal.
- `$S_h^2$` = estimador da variância populacional `$\sigma^2$` no estrato `$h$`.
- `$n_h$` = número de parcelas alocadas no estrato `$h$`.
- `$N$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas na população.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Erro de Amostragem Absoluto
.font90[

`\begin{equation}
\large
E_{a} = \pm~tS_{\bar{X}(est)}
\end{equation}`

- `$S_{\bar{X}(est)}$` = Estimativa do erro padrão da média estratificada.
- `$t_{(n-1;~\alpha)}$` = Valor crítico da distribuição *t* de *Student*. ( `$\alpha$` = nível de confiança; n = número de parcelas amostrais)
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Erro de Amostragem Relativo (%)
.font90[

`\begin{equation}
\large
E_{r} = \pm~ \left(\dfrac{tS_{\bar{X}(est)}}{\bar{X}_{(est)}}\right).100
\end{equation}`

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Intervalo de Confiança Para Média Estratificada
.font90[

👉 É um intervalo numérico que conterá, sob o nível de confiança `$\alpha$`, o valor do parâmetro populacional desconhecido `$\mu$` (média populacional).

`\begin{equation}
\large
IC_{\bar{X}_{(est)}} = \left[\underbrace{\bar{X}_{(est)} - (t_{(n-1;~\alpha)}S_{\bar{X}(est)})}_\text{Limite Inferior} \leq \mu \leq \underbrace{\bar{X}_{(est)} + (t_{(n-1;~\alpha)}S_{\bar{X}(est)})}_\text{Limite Superior} \right]
\end{equation}`

- `$S_{\bar{X}(est)}$` = Estimativa do erro padrão da média estratificada.
- `$t_{(n-1;~\alpha)}$` = Valor crítico da distribuição *t* de *Student*.
- `$\bar{X}_{(est)}$` = Estimativa da média aritmética estratificada.

]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Intensidade amostral (ou suficiência amostral)
.font90[
👉 Em processo de amostragem estratificada, a intensidade amostral é calculada em função do tipo de alocação das unidades amostrais nos estratos (PÉLLICO NETTO; BRENA, 1997; SANQUETTA et al., 2009, QUEIROZ, 2012; SCOLFORO; MELLO, 1997):
<br>

- a) Alocação proporcional
- b) Alocação ótima ou de Neyman
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Intensidade amostral (ou suficiência amostral)
.font90[
<br>
👉 **ALOCAÇÃO PROPORCIONAL**

- O número de parcelas a serem distribuídas em cada estrato
é proporcional ao tamanho do estrato (SCOLFORO; MELLO 1997).
- A variabilidade da variável de interesse no estrato e o custo não é levada em consideração.
- Portanto, estrato com maior área recebe mais parcelas do que os estratos menores.

👉 **> Tamanho do estrato ➡️ + Parcelas**

]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Intensidade amostral (ou suficiência amostral)
.font80[
<br>
👉 **ALOCAÇÃO PROPORCIONAL**

- A estimativa da intensidade amostral é obtida em função da **variância estratificada** (PÉLLICO NETTO; BRENA, 1997).

$$
`\begin{equation}
\large
n = \dfrac{t^2\sum\limits_{h=1}^{L}W_h S^2_h}{E^2+t^2\sum\limits_{h=1}^{L}\dfrac{W_h S^2_h}{N}} ~~~~ (\color{blue}{Populações~finitas})
\end{equation}`
$$

$$
`\begin{equation}
\large
n = \dfrac{t^2\sum\limits_{h=1}^{L}W_h S^2_h}{E^2} ~~~~ (\color{blue}{Populações~infinitas})
\end{equation}`
$$
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Intensidade amostral (ou suficiência amostral)
.font80[
<br>
👉 **ALOCAÇÃO PROPORCIONAL - Número de parcelas por estrato h?**

$$
`\begin{equation}
\large
n_h = \frac{N_h}{N}n = W_hn
\end{equation}`
$$

- `$N_h$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas no estrato `$h$`.
- `$N$` = Número de parcelas possíveis de serem alocadas na população.
- `$n$` = Número total de parcelas que devem ser alocadas na população florestal.
- `$W_h$` = Proporção do estrato `$h$` na população florestal.

]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Análise de Variância (ANOVA) da Estratificação
.font80[
- A ANOVA deve ser realizada na primeira estratificação da população florestal. O objetivo é inferir se existe evidência de diferença significativa entre as médias dos estratos.
- Portanto, através da ANOVA é possível inferir se a estratificação foi benéfica (ou não), em termos de precisão e custo, comparado a Amostragem Aleatória Simples (AAS) (Péllico Netto; Brena, 1997; Sanquetta et al., 2023).

]
]

.font80[
`$L$` = Número de estratos;
`$n$` = Número total de unidades amostradas na população.
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Análise de Variância (ANOVA) da Estratificação
.font80[
- **Hipóteses estatísticas do teste F**

👉  **Hipótese de Nulidade:**
- As médias dos estratos são estatisticamente todas iguais entre si.

`$H_0: \bar{X_{h_1}} = \bar{X_{h_2}} = ... = \bar{X_{h_L}}$`

👉  **Hipótese Alternativa:**
- Pelo menos dois estratos possuem médias são estatisticamente diferentes entre si.

`$H_1: Não~H_0$`
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Análise de Variância (ANOVA) da Estratificação
.font80[
- **Regras de decisão do teste F**

👉  Se `$F_{calculado}$` > `$F_{crítico}$`, **rejeita-se a hipótese de nulidade** (`$H_0$`). Portanto, existem evidências de que as médias da variável de interesse de pelo menos dois estratos diferem estatísticamente, ao nível de probabilidade estabelecido. Assim, pode-se admitir que a estratificação foi benéfica ao inventário.

👉  Se `$F_{calculado}$` `$\leq$` `$F_{crítico}$`, **.blue[não] rejeita-se a hipótese de nulidade** (`$H_0$`). Portanto, não existem evidências de que as médias da variável de interesse de pelo menos dois estratos diferem estatísticamente, ao nível de probabilidade estabelecido. Assim, pode-se admitir que a estratificação não foi benéfica ao inventário.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da Amostragem Estratificada

.shadow1[
## Análise de Variância (ANOVA) da Estratificação
.font80[
- **Somas de Quadrados Entre Estratos**

$$
`\begin{equation}
\normalsize
SQ_{Trat} = \dfrac{\sum\limits_{h=1}^{L} \biggl(\sum\limits_{i=1}^{n_h}X_{hi}\biggr)^2}{n_h} - C
\end{equation}`
$$
- **Somas de Quadrados Totais**

$$
`\begin{equation}
\normalsize
SQ_{Tot} = \sum\limits_{h=1}^{L} \sum\limits_{i=1}^{n_h}X_{hi}^2 - C
\end{equation}`
$$
- **Fator em Comum (C)**

$$
`\begin{equation}
\normalsize
C = \dfrac{\biggl(\sum\limits_{h=1}^{L} \sum\limits_{i=1}^{n_h}X_{hi}\biggr)^2}{L(n_h)}
\end{equation}`
$$

]
]

---

## 📖 Referências

<br><br>
CAMPOS, J. C. C.; LEITE, H. G. **Mensuração florestal: perguntas e respostas**. 3ª ed. - Viçosa, MG: Ed. UFV, 2009. 548 p.
<br><br>
PÉLLICO NETTO, S.; BRENA, D. A. **Inventário Florestal**. Curitiba: editorado pelos autores, 1997. 316p.
<br><br>
QUEIROZ, W. T. **Técnicas de amostragem em inventário florestal nos trópicos**. Belém: FCAP. Serviço de Documentação e Informação, 1998. 147 p.
<br><br>
QUEIROZ, W. T. **Amostragem em Inventário Florestal**. Belém: Universidade Federal Rural da Amazônia, 2012. 441 p.

---

## 📖 Referências

<br><br>
SANQUETTA, C. R.; CORTE, A. P. D.; RODRIGUES, A. L.; WATZLAWICK, L. F. **Inventários florestais: planejamento e execução**. 4ª ed. Curitiba, PR. 2023. 406p.
<br><br>
SCOLFORO, J. R. S.; MELLO, J. M. **Inventário Florestal**. Lavras: UFLA/FAEPE, 1997. 341 p.
<br><br>
SOARES, C. P. B.; PAULA NETO, F.; SOUZA, A. L. **Dendrometria e inventário florestal**. 2ª ed. - Viçosa, MG: Ed. UFV, 2011. 272 p.

---

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