Inventário Florestal (FL03039

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# .font120[Inventário Florestal (FL03039 - EF)]

## Amostragem Aleatória Simples
###### Teoria e Estimadores

##### 〰〰〰〰〰〰🌳〰〰〰〰〰〰
##### ᨒ
##### .font120[**Prof. Dr. Deivison Venicio Souza**]
##### Universidade Federal do Pará (UFPA)
##### Faculdade de Engenharia Florestal
##### Laboratório de Manejo Florestal, Tecnologias e Comunidades Amazônicas
##### E-mail: deivisonvs@ufpa.br
 
##### 1ª versão: 23/novembro/2021 (Atualizado em: 08/junho/2025) Altamira, Pará

---
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<div class="my-footer">Prof. Dr. Deivison Venicio Souza (E-mail: deivisonvs@ufpa.br)&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp; <div3>Inventário Florestal (FL03039 - EF)</div3>/ <div2>Amostragem Aleatória Simples</div2> </div>

---

## 📚 Ementa da disciplina (FL03039 - EF)
 
.shadow4[
.font80[
1 - Introdução aos Inventários Florestais;

2 - Amostragem em Inventários Florestais;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.1 - Conceitos Básicos e Principais Estimadores;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.2 - Métodos de Amostragem;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**2.3 - Amostragem Aleatória Simples - AAS**;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.4 - Amostragem Estratificada - AE;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.5 - Amostragem Sistemática - AS;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.6 - Amostragem em Dois Estágios - ADE; e

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.7 - Amostragem em Conglomerados - AG.

3 - Censo Florestal (Inventário Florestal 100%);

4 - Amostragem em Múltiplas Ocasiões;

5 - Inventário Florestal Nacional; e

6 - Planejamento e Custos de Inventários Florestais.

]
]

---

## 🎯 Objetivos
 
.font90[
Ao final desta aula espera-se que o discente seja capaz de...

* Compreender os conceitos básicos associados à Amostragem Aleatória Simples (AAS); e
* Conhecer e entender os principais estimadores da AAS.
]

---

## 📙 Conteúdo

.pull-left-4[
.pull-top[
**Parte 1 - AAS: Fundamentos Teóricos**
.font80[

[1 - Definição e características](#con)

[2 - Seleção da Unidade de Amostra](#sua)

[3 - Argumentos favoráveis e contra-argumentos](#afc)

[4 - Quando usar a AAS?](#qu)

]
]
]

.pull-right-4[

**Parte 2 - Estimadores da AAS**

.font80[

[1 - Parâmetro, Estimador e Estimativa](#pee)

[2 - Principais Estimadores da AAS](#peaas)

&nbsp;&nbsp;[2.1 - Média Aritmética](#ma)

&nbsp;&nbsp;[2.2 - Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação](#dp)

&nbsp;&nbsp;[2.3 - Variância e Erro Padrão da Média Amostral](#epm)

&nbsp;&nbsp;[2.4 - Intensidade Amostral (ou Suficiência Amostral)](#ia)

&nbsp;&nbsp;[2.5 - Erro de Amostragem (absoluto e %)](#ea)

&nbsp;&nbsp;[2.6 - Intervalo de Confiança Para Média](#icm)

&nbsp;&nbsp;[2.7 - Total da População](#tp)

&nbsp;&nbsp;[2.8 - Intervalo de Confiança Para o Total da População](#icptp)

]
]

---
layout: false
name: if
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background-size: cover

.font150[.yellow2[**Amostragem Aleatória Simples** .orange[**(Fundamentos Teóricos)**]]]

---
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<div class="my-header"></div>
<div class="my-footer">Prof. Dr. Deivison Venicio Souza (E-mail: deivisonvs@ufpa.br)&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;<div3>Amostragem Aleatória Simples - AAS</div3>/ <div2>Parte 1 - Fundamentos Teóricos</div2> </div>

---
name: con
## 🌳 Método e Processo de Amostragem

.shadow1[
### Método de Amostragem
.font80[
- É a forma de .blue[abordagem da população florestal] referente a .blue[uma única unidade de amostra] (ou parcela). Ou seja, o tipo de unidade amostral a ser empregada no inventário florestal.
]
]

.shadow1[
### Processo de Amostragem
.font80[
- É a forma de .blue[abordagem da população florestal] referente ao .blue[conjunto de unidades amostrais] (Péllico Netto; Brena, 1997). Ou seja, a forma como as unidades de amostras serão distribuídas na população florestal.
]
]

.center[**Sistema de Amostragem** = .blue[**Método de Amostragem**] + .orange[**Processos de Amostragem**]]

---
name: mpa
## 🌳 Método e Processo de Amostragem

---
name: con
## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
### Definição
.font100[
**Processo de amostragem** de características de uma população, cujas unidades amostrais são escolhidas de forma **aleatória** e sob **igual probabilidade** (amostragem probabilística).
]
]

---
name: car
## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
### Características (Queiroz, 1998)

- A Amostragem Aleatória Simples (AAS) é baseada em um processo estritamente aleatório;
- As unidades amostrais (parcelas) são escolhidas sob igual probabilidade (**1/N**); (**N** = número de UA que compõem o espaço amostral).

]

---
name: sua
## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
### Método de Seleção da Unidade de Amostra

A seleção das Unidades Amostrais (UA) pode ser realizada por meio de sorteio **COM** ou **SEM** reposição (Péllico Netto; Brena, 1997):

- **Sorteio com reposição**: Uma unidade de amostra poderá ser sorteada .magenta[mais de uma vez] para compor a amostra.
- **Sorteio sem reposição**: Uma unidade de amostra poderá ser sorteada somente .magenta[uma única vez] para compor a amostra.

]

---

## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
### Como funciona nos inventários florestais?

- A AAS em inventários florestais é comumente conduzida por meio de um **sorteio SEM reposição** das unidades de amostras (Queiroz, 1998). 
- **Motivo**: A inclusão de uma unidade amostral mais de uma vez na amostra refletirá uma homogeneização da variância (entre UAs) para a variável de interesse.

]

---

## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.pull-left-15[
- Vamos supor um Povoamento de *Khaya Ivorensis*...(5m x 5m)

🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳

🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳  🌳
 
]

.pull-left-7[
 
.font80[
**.brown[Como você executaria um IF usando a AAS?]**

**Variável de interesse**: .blue[Volume de madeira por hectare].
]
]

---
name: afc
## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
### Contra-argumentos (Péllico Netto; Brena, 1997)
]

.shadow4[
.font90[
**1) Na fase de planejamento**
- As UAs devem ser listadas, para posterior seleção aleatória (sorteio de unidades ou pontos amostrais);
]
]

.shadow4[
.font90[
**2) Na fase de execução (em campo)**
- Existe a possibilidade de uma distribuição irregular da unidades amostrais;
- Pode haver maior dificuldade para se alcançar a posição das unidades amostrais; e
- Maior tempo improdutivo, devido ao deslocamento entre unidades amostrais.
]
]

.comment[**Fatores que aumentam as dificuldades**: Florestas Inequiâneas, Tamanho da Área...]

---

## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
### Argumentos favoráveis
]

.shadow4[
**1) Na fase de análise de dados (escritório)**
- Os estimadores da AAS são mais simples. Portanto, as estimativas do IF são obtidas com maior facilidade.
]

---
name: qu
## 🌳 Amostragem Aleatória Simples

.shadow1[
.font80[
### Quando usar a AAS para IF? (Sanquetta et al., 2009)
 
Recomenda-se o uso da AAS quando a população florestal a ser inventariada for:

- Pequena;
- De fácil acesso; e
- Relativamente .magenta[homogênea] em relação à variável de interesse.

.blue[Homogeneidade]: Tem relação com o grau de variabilidade da variável de interesse entre unidades amostrais.

.blue[Grau de variabilidade]: é estimado pelo estimador de variância amostral.

.center[
.red[&#65308;] variância .red[&#65308;] intensidade amostral
]
]
]

---
layout: false
name: if
class: inverse, middle, center
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background-size: cover

.font150[.yellow2[**Amostragem Aleatória Simples** .orange[**(Estimadores)**]]]

---
name: pee
## 🌳 Parâmetro, Estimador e Estimativa

- Recapitulando a diferença entre: .blue[Parâmetro, Estimador e Estimativa]...

.shadow1[
### Parâmetro]

.shadow4[
.font90[
- É uma .blue[estatística] usada para descrever uma característica de interesse, a partir de .blue[dados populacionais]. (**Mede-se todos os elementos da população!**)
- Os valores dos parâmetros populacionais são .blue[normalmente desconhecidos], pois na maioria das vezes é inviável medir todos os elementos da população.
- Os parâmetros são comumente representados por .blue[letras gregas].
]
]

.center[
.font80[
`$\mu$` = Média Populacional (ou Paramétrica)

`$\sigma^2$` = Variância Populacional (ou Paramétrica)

`$\sigma$` = Desvio Padrão Populacional (ou Paramétrica)
]
]

.font80[
`$\sigma$`: letra grega sigma.

`$\mu$`: letra grega mu (lê-se "mi").
]

---

## 🌳 Parâmetro, Estimador e Estimativa

.shadow1[
### Estimador (do Parâmetro)
]

.shadow4[
- É uma .blue[estatística] usada para .blue[estimar um parâmetro da população] (para alguma característica de interesse), a partir de dados da .blue[amostra].
- São exemplos de estimadores: `$\bar{X}$`, `$S^2$`, `$S$` e outros
]

.shadow1a[
### Estimativa (do Parâmetro)
]

.shadow4[
- É o valor numérico assumido pelo estimador, obtido a partir de dados amostrais.
- Estimativa = é um valor aproximado (do Parâmetro).
]

---

## 🌳 Parâmetro, Estimador e Estimativa

.shadow1a[
### Formulação Matemática (Exemplos)
]

.font80[

| Parâmetro | Estimador (do Parâmetro) | Descrição |
|:-----------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------:|:-----------------------------------------------------------------------------------:|
| `$$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i$$` | `$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$` | `$\mu$` = média populacional `$\bar{X}$` = estimador da média populacional |
| `$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left (X_i - \mu \right )^2$$` | `$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left (X_i - \bar{X} \right )^2$$` | `$\sigma^2$` = variância populacional `$S^2$` = estimador da variância populacional |
| `$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left (X_i - \mu \right )^2}$$` | `$$S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left (X_i - \bar{X} \right )^2}$$` | `$\sigma$` = desvio padrão populacional `$S$` = estimador do desvio padrão populacional |
]

---
name: peaas
## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-12[
**Os principais estimadores da AAS são:**
]

.pull-right-12[
| **Estimador (do Parâmetro)**                          | **Símbolo**                |
|-------------------------------------------------------|:----------------------------:|
| 1 - Média aritmética                                  | `$\bar{X}$`                  |
| 2 - Variância                                         | `$S^2$`                      |
| 3 - Desvio Padrão                                     | `$S$`                        |
| 4 - Coeficiente de variação                           | `$CV$`                       |
| 5 - Intensidade amostral                              | `$n$`                        |
| 6 - Erro padrão da média amostral                          | `$S_{\bar{X}}$`              |
| 7 - Erro de amostragem                                | `$\left(E_a~ou~E_r \right)$` |
| 8 - Intervalo de confiança para média                 | `$IC_{\bar{X}}$`             |
| 9 - Total da população                               | `$\hat{X}$`                  |
| 10 - Intervalo de confiança para o total da população | `$IC_{\hat{X}}$`             |

]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow3[
.center[**NOTAÇÕES**]

`$A$` = Área total da população

`$a$` = Área ou tamanho da unidade de amostra

`$N$` = Número de unidades de amostra possíveis na população

`$n$` = Número de unidades amostradas (**medidas em campo!**)

`$f$` = Fração de amostragem (**Proporção amostrada!**)

`$t$` = Valor tabelado com `$\left(n-1 \right)$` graus de liberdade ao nível de significância estabelecido

`$LE$` = Limite de erro admitido no Inventário Florestal (0,1 ou 10%)

`$E$` = Erro admissível para estimativa da média

`$X_i$` = `$i$`-ésimo valor da variável de interesse `$X$`

]

---
name: ma
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Média aritmética amostral

`\begin{equation}
\large
\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
\end{equation}`

- `$\bar{X}$` (lê-se: X-barra) = estimador da média aritmética populacional `$\mu$` (lê-se: "mi") ou média amostral.
- `$n$` = número de observações.
- `$\Sigma$` (sigma maiúscula) = símbolo de somatório. 
- `$X_i$` = `$i$`-ésimo valor da variável de interesse `$X$`.

]

---
name: dp
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Variância amostral
.font90[
👉 Estimar a variabilidade (ou dispersão) dos dados da amostra em relação à média aritmética.]

`\begin{equation}
\large
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left (X_i - \bar{X}  \right )^2
\end{equation}`

.font90[
- `$S^2$` (lê-se: S-quadrado) = estimador da variância populacional `$\sigma^2$` (lê-se: Sigma-quadrado) ou variância amostral.
- `$n$` = número de observações.
- `$\Sigma$` (sigma maiúscula) = símbolo de somatório. 
- `$X_i$` = `$i$`-ésimo valor da variável de interesse `$X$`.
- `$\bar{X}$` = estimativa da média aritmética populacional `$\mu$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Desvio padrão amostral

.font90[
👉 Estimar a variabilidade (ou dispersão) dos dados da amostra em relação à média aritmética. Porém, **é expresso na mesma unidade de medida da variável de interesse.**]

`\begin{equation}
\large
S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left (X_i - \bar{X}  \right )^2}
\end{equation}`

.font90[
- `$S$` = estimador do desvio padrão populacional `$\sigma$` (lê-se: Sigma) ou desvio padrão populacional.
- `$n$` = número de observações.
- `$\Sigma$` (sigma maiúscula) = símbolo de somatório. 
- `$X_i$` = `$i$`-ésimo valor da variável de interesse `$X$`.
- `$\bar{X}$` = estimativa da média aritmética populacional `$\mu$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Coeficiente de variação amostral

`\begin{equation}
\large
CV = \frac{S}{\bar{X}} \left( 100 \right)
\end{equation}`

.font90[
- `$CV$` = estimador do coeficiente de variação populacional ou coeficiente de variação amostral.
- `$S$` = estimativa do desvio padrão populacional `$\sigma$`.
- `$\bar{X}$` = estimativa da média aritmética populacional `$\mu$`.
]
]

---
name: ia
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Intensidade amostral - Definição

.font90[
No âmbito de IFs, o estimador de intensidade amostral buscar responder:

- Qual o .blue[tamanho da amostra] necessário para estimar a média aritmética (ou outro parâmetro) de uma variável de interesse (ex.: volume por ha), admitindo-se um limite de erro e sob um nível de probabilidade?

**A definição do estimador de intensidade amostral depende de duas informações preliminares:**

- A natureza da população (Finita ou Infinita?).
- Da estimativa de variabilidade da variável de interesse (Variância ou CV?).
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Intensidade amostral
]

.pull-left-4[
.shadow3[
.font80[
.center[.blue[**Em função da variância amostral**]]

- **Populações Finitas**

`\begin{equation}
\large
n = \frac{Nt^2S^2}{(NE^2) + (t^2S^2)}
\end{equation}`

- **Populações Infinitas**

`\begin{equation}
\large
n = \frac{t^2S^2}{E^2}
\end{equation}`
]
]

.font70[
`$N$` = Número de unidades de amostra possíveis na população

`$S^2$` = Estimativa da variância populacional

`$t_{n-1;~\alpha}$` = Valor crítico com (n-1) GL e nível `$\alpha$` de significância

`$E$` = Erro admissível para estimativa da média
]

]

.pull-right-4[
.shadow3[
.font80[
.center[.blue[**Em função do CV amostral**]]

- **Populações Finitas**

`\begin{equation}
\large
n = \frac{Nt^2(CV)^2}{N(LE)^2 + t^2(CV)^2}
\end{equation}`

- **Populações Infinitas**

`\begin{equation}
\large
n = \frac{t^2(CV)^2}{(LE)^2}
\end{equation}`
]
]

.font70[
`$CV$` = estimativa do coeficiente de variação (em %) populacional

`$LE$` = Limite de Erro (em %) admitido no Inventário Florestal
]

]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-4[
.font90[
**🤔 Como determinar o número de unidades de amostras possíveis na população** `$\left(N\right)$`?

**Exemplo**:

- Suponha uma população florestal de *Khaya Ivorensis* com 15 anos de idade, implantada a pleno sol sob o espaçamento 5m x 5m (Área Total = 10ha).
- **Objetivo**: Estimar o volume de madeira/hectare.
- **Amostragem**: Supondo o uso de parcelas de 100m x 100m, qual o valor de `$\left(N\right)$`?

]
]

.pull-right-4[
<img src="fig/class3/pop2.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-4[
.font90[
**Depende do tamanho da população e da parcela:**
]
]

.pull-right-4[
<img src="fig/class3/pop2.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-left-4[
`\begin{equation}
\normalsize
N = \frac{A}{a}
\end{equation}`
]

.pull-left-4[
`\begin{equation*}
\normalsize
N = \frac{100.000\color{orange}{m²}}{10.000\color{orange}{m²}} = \frac{10\color{blue}{ha}}{1\color{blue}{ha}} = 10~UA
\end{equation*}`

]

.font90[
- **Interpretação**: É possível estabelecer 10 unidades amostrais de 1ha na população florestal de 10ha.
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow3[
.center[**População Finita x População Infinita**]

- Em estatística, uma população é finita quando a fração amostral é maior do que 2%.
- A fração amostral pode ser calculada como:

`\begin{equation}
\large
f = \frac{n}{N}
\end{equation}`

`$n$` = número de unidades amostradas

`$N$` = número de unidades de amostras possíveis na população

]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-4[
.font90[
**🤔 Como determinar a fração amostral** `$\left(f\right)$`?

- Retornemos ao exemplo da população florestal de *Khaya Ivorensis*...
- Agora, suponha que foram aleatorizadas 3 UAs de 1 hectare cada.
- 🤔 **Pergunta-se**: Qual a fração amostral?
]
]

.pull-right-4[
<img src="fig/class3/pop3.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-4[
.font90[
**🤔 Como determinar a fração amostral** `$\left(f\right)$`?
 
]
]

.pull-right-4[
<img src="fig/class3/pop3.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

--

.pull-left-4[
.font90[
**Abordagem 1:** .blue[Usando a equação]

`\begin{equation*}
\normalsize
f = \frac{n}{N} = \frac{3}{10} = 0,3 (100) = \color{blue}{30\%}
\end{equation*}`

**Abordagem 2**: .blue[Usando regra de 3]

`\begin{align*}
& 10ha -\!\!\!-\!\!\!- 100\% \\
& 3ha -\!\!\!-\!\!\!- x\%
\end{align*}`

`$$x = \frac{300}{10}=\color{blue}{30\%}$$`

]
]

.pull-left-4[
.font90[**Interpretação**: Foi amostrada uma fração de 30% da área total da população florestal. (**.orange[População é Finita!]**)]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

**Vamos praticar...**

.pull-left-4[
.font90[
- Suponha uma população florestal de *Khaya Ivorensis* com área total de 100ha e a implantação de 5 parcelas de 100m x 100m. Pergunta-se:
]
]

.pull-right-4[
<img src="fig/class3/pop1.png" width="85%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-left-4[
.font90[
**a)** Qual o número de UAs possíveis na população (*N*)?
]
]

.pull-left-4[
`\begin{equation*}
\normalsize
N = \frac{A}{a} = \frac{1.000.000\color{orange}{m²}}{10.000\color{orange}{m²}} = \frac{100\color{green}{ha}}{1\color{green}{ha}} = \color{blue}{100~UA}
\end{equation*}`
]

.pull-left-4[
.font90[
**b)** Qual a fração amostral (*f*) e a natureza da população?]
]

.pull-left-4[
`\begin{equation*}
\normalsize
f = \frac{n}{N} = \frac{5}{100} = 0,05 (100) = \color{blue}{5\%}~\left(\color{orange}{População~é~Finita!}\right)
\end{equation*}`
]

---
name: epm
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Erro Padrão da Média Amostral

.font90[
👉 Estimar a variação das médias amostrais que poderiam ser, hipoteticamente, tomadas na população.

`\begin{equation}
\large
S_{\bar{X}} = \frac{S}{\sqrt{n}}\sqrt{1-f}
\end{equation}`

- `$S$` = estimativa do desvio padrão populacional `$\sigma$`.
- `$n$` = número de observações (Em IF, comumente é quantidade de parcelas!).
- `$f$` = fração de amostragem.
- `$1-f$` = **Fator de Correção (FC)**. Deve ser usado apenas quando a **População for Finita**. Portanto, no caso de **Populações Infinitas** a fração `$\sqrt{1-f}$` deve ser removida do estimador.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-9[
**🤔 Mas, o que é Erro Padrão da Média?**
.font90[
- Vamos supor a seleção aleatória de duas UAs (4 e 7).
]
]

.pull-right-9[
<img src="fig/class3/pop4.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-left-9[
.font90[
- Todas as árvores foram medidas nas UAs sorteadas e o volume/parcela calculado.

`$\large v_{p4} = 145~(m^3.ha^{-1})~~~~~~$`
`$\large v_{p7} = 143~(m^3.ha^{-1})$`
]
]

.pull-left-9[
.font90[
- Obtendo-se a média, têm-se:

`$\large \bar{v} = \dfrac{(145 + 143)}{2} = \color{blue}{144~(m^3.ha^{-1})}$`
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-9[
**🤔 Mas, o que é Erro Padrão da Média?**
]

.pull-right-9[
<img src="fig/class3/pop4.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-left-9[
.font90[
👉 **Questão:** Mas, se uma nova amostra de mesmo tamanho (n = 2) fosse sorteada da população, o que aconteceria com a média amostral?
]
]

.pull-left-9[
.font90[
- A média amostral seria a mesma? 👎
- A média amostral poderia variar em função da amostra selecionada? 👍 (.blue[Mais provável!])
]
]

.pull-left-9[
.font90[
**O estimador de erro padrão da média fornecerá a resposta para essa pergunta!**
]
]

.pull-left-9[
.font90[
- O quanto podemos estar confiantes de que a média amostral `$(144~m^3.ha^{-1})$` é uma boa aproximação da média populacional `$\mu$`?
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-9[
**🤔 Mas, o que é Erro Padrão da Média?**
.font80[
- Perceba que a amostra sorteada (4 e 7) é apenas uma possibilidade dentre as várias combinações possíveis de amostras de mesmo tamanho.
]
]

.pull-right-9[
<img src="fig/class3/pop4.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-left-9[
.font80[
- Portanto, teoricamente, o número de amostras de tamanhos k = 2 tomadas de n = 10 elementos pode ser determinado por combinação simples:
]
]

.pull-left-9[
`\begin{equation*}
\normalsize
C_{n,k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}
\end{equation*}`
]

.pull-left-9[
.font70[
 **Acesse o tutorial**: [Combinação Simples no R](https://deivisonsouza.github.io/FL03039-Inventario-Florestal/Slides/Combinacao-simples.html) para uma melhor intuição das combinações teóricas possíveis.

**Acesse o tutorial**: [Simulação de Dados Dendrométricos](https://deivisonsouza.github.io/FL03039-Inventario-Florestal/Slides/Simulacao-khaya.html) para acessar os dados simulados para as 10 parcelas.
]
]

---
name: ea
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Erro de Amostragem

.font90[
👉 Estimar o erro devido ao uso da amostragem. Pode ser expresso em valores absolutos - na unidade de medida da variável de interesse - e relativo (em, %).

`\begin{equation}
\large
E_{a} = \pm tS_{\bar{X}}
\end{equation}`

`\begin{equation}
\large
E_{r} = \pm \left(\dfrac{tS_{\bar{X}}}{\bar{X}}\right).100
\end{equation}`

- `$S_{\bar{X}}$` = Estimativa do erro padrão da média amostral.
- `$t_{(n-1;~\alpha)}$` = Valor crítico da distribuição *t* de *Student*. ( `$\alpha$` = nível de confiança; n = número de parcelas amostrais)
- `$\bar{X}$` = Estimativa da média aritmética populacional `$\mu$`.
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-9[
**🤔 Mas, como encontrar o valor t?**
.font90[
- Pode ser encontrado em tabelas da distribuição *t* de *Student*.
- São necessárias duas informações:

**1)** Grau de liberdade, dado por `$n-1$`;

**2)** Nível de confiança `$\alpha$`.

**Acesse o tutorial**: [Distribuição t-Student](https://deivisonsouza.github.io/FL03039-Inventario-Florestal/Slides/Tutorial4-Distribuicao-t.html).

]
]

.pull-right-9[

]

---
name: icm
## 🌳 Estimadores da AAS

.font90[
.shadow1[
## Intervalo de Confiança Para Média

👉 É um intervalo numérico que conterá, sob o nível de confiança `$\alpha$`, o valor do parâmetro populacional desconhecido `$\mu$` (média populacional).

`\begin{equation}
\large
IC_{\bar{X}} = \left[\underbrace{\bar{X} - (t_{(n-1;~\alpha)}S_{\bar{X}})}_\text{Limite Inferior} \leq \mu \leq \underbrace{\bar{X} + (t_{(n-1;~\alpha)}S_{\bar{X}})}_\text{Limite Superior} \right]
\end{equation}`

- `$S_{\bar{X}}$` = Estimativa do erro padrão da média amostral.
- `$t_{(n-1;~\alpha)}$` = Valor crítico da distribuição *t* de *Student*.
- `$\bar{X}$` = Estimativa da média aritmética populacional `$\mu$`.

]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-9[
**🤔 Idéia básica de IC para Média...**
.font80[
- Suponha o interesse no parâmetro populacional `$\mu$`, porém desconhecido, de uma variável de interesse. (**Lembre-se**: `$\mu$` é a média populacional.)
]
]

.pull-left-9[
.font80[
- Suponha também que a variável de interesse é o .blue[volume de madeira por hectare] em uma população florestal de tamanho conhecido.
]
]

.pull-left-9[
.font80[
- **Você teria duas opções**: censo florestal ou inventário florestal por amostragem (IFA). **Perfeito!** Agora, suponha a decisão pela segunda opção.
]
]

.pull-right-9[
.pull-down[
.shadow4[
.font80[
.center[**CENSO FLORESTAL x INVENTÁRIO POR AMOSTRAGEM**]

- **Censo Florestal**: consiste em medir a característica de interesse em todos os elementos da população florestal. (.green[Parâmetro populacional] `$\color{green}{\mu}$` .green[será conhecido!])
- **IF por Amostragem**: consiste em medir a característica de interesse apenas em parte da população florestal, comumente usando parcelas amostrais. (.green[Parâmetro populacional] `$\color{green}{\mu}$` .green[será estimado!])

**Lembre-se**: Em IF, comumente uma amostra é um conjunto de parcelas amostrais!
]
]
]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-9[
**🤔 Idéia básica de IC para Média...**
.font80[
- **Estimativa do parâmetro**: usando os dados de parcelas amostrais pode-se obter uma .blue[estimativa do valor do parâmetro populacional] `$\color{blue}{\mu}$` (Ex.: `$\bar{X} = 144~m^3.ha^{-1}$`). 
]
]

.pull-left-9[
.font80[
- Nesse caso, o valor de `$\bar{X} = 144~m^3.ha^{-1}$`, por exemplo, representaria o valor mais plausível do parâmetro `$\mu$`, baseado nos dados da amostra. Esse único valor - estimado a partir de uma amostra - é chamado de .blue[estimativa pontual de] `$\color{blue}{\mu}$`.

]
]

.pull-left-9[
.font80[
- Perceba, porém, que o valor estimado para o parâmetro `$\mu$` depende da amostra tomada. Ou seja, se outra amostra aleatória de mesmo tamanho fosse realizada na população, esperar-se-ia um valor diferente para a estimativa de `$\mu$`.
]
]

--

.pull-right-9[
.pull-down[
.font80[
 
- Ok. Então, não seria mais informativo estimar um intervalo númerico dentro do qual se esperaria, com determinada probabilidade, encontrar o valor verdadeiro do parâmetro μ?

.blue[**Essa é a idéia básica de intervalo de confiança!**]]

]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

.pull-left-5[
.font80[
- A figura ilustra o parâmetro `$\mu$` desconhecido (linha horizontal verde) e a construção de 100 ICs a partir de 100 amostras aleatórias (de mesmo tamanho n) tomadas de uma população.
- **O que esperar?**: que 95% dos ICs construídos a partir das 100 amostras aleatórias da população contenham o verdadeiro valor de `$\mu$` (**Que é desconhecido!**).
]
]

.pull-right-5[
<img src="fig/class3/IC-Plot.png" width="85%" style="display: block; margin: auto;" />
.font80[**Tutorial para reproduzir**: [Intervalo de Confiança](https://deivisonsouza.github.io/FL03039-Inventario-Florestal/Slides/Tutorial5-Intervalo-Confianca.html)]

]

---
name: tp
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Total da População

👉 É a estimativa do valor da variável de interesse na população.

`\begin{equation}
\large
\hat{X} = N\bar{X}
\end{equation}`

- `$\hat{X}$` = Estimativa do valor da variável na população.
- `$N$` = Número de unidades de amostras possíveis na população.
- `$\bar{X}$` = Estimativa da média aritmética populacional `$\mu$`.

]

---
name: ictp
## 🌳 Estimadores da AAS

.shadow1[
## Intervalo de Confiança Para Total da População

.font80[

👉 É um intervalo numérico que conterá, sob o nível de confiança `$\alpha$`, o valor total da variável de interesse.

`\begin{equation}
\large
IC_{\hat{X}} = \left[\underbrace{\hat{X} - N(t_{(n-1;~\alpha)}S_{\bar{X}})}_\text{Limite Inferior} \leq X \leq \underbrace{\hat{X} + N(t_{(n-1;~\alpha)}S_{\bar{X}})}_\text{Limite Superior} \right]
\end{equation}`

- `$S_{\bar{X}}$` = Estimativa do erro padrão da média amostral.
- `$t_{(n-1;~\alpha)}$` = Valor crítico da distribuição *t* de *Student*.
- `$\hat{X}$` = Estimativa do total populacional.
- `$N$` = Número de unidades de amostras possíveis na população.

]
]

---

## 🌳 Estimadores da AAS

### Unidades de Medidas das Estimativas

.pull-left-12[
.font90[
- A unidade de medida das estimativas dependerá da variável de interesse. Veja o exemplo quando a variável de interesse é o volume de madeira por hectare...
]
]

.pull-right-12[
.font90[
| **Estimador (do Parâmetro)**                          | Volume               |
|-------------------------------------------------------|:----------------------------:|
| 1 - Média aritmética                                  | `$m³.ha^{-1}$`                    |
| 2 - Variância                                         | `$\left(m³.ha^{-1}\right)^2$`                       |
| 3 - Desvio Padrão                                     | `$m³.ha^{-1}$`                        |
| 4 - Coeficiente de variação                           | `$\%$`                       |
| 5 - Intensidade amostral                              | `$Parcelas$`                        |
| 6 - Erro padrão da média amostral                                | `$m³.ha^{-1}$`              |
| 7 - Erro de amostragem                                | `$\left(m³.ha^{-1}~ou~\% \right)$` |
| 8 - Intervalo de confiança para média                 | `$m³.ha^{-1}$`             |
| 9 - Total da população                               | `$m³$`                  |
| 10 - Intervalo de confiança para o total da população | `$m³$`             |
]
]

---

## 📖 Referências

CAMPOS, J. C. C.; LEITE, H. G. **Mensuração florestal: perguntas e respostas**. 3ª ed. - Viçosa, MG: Ed. UFV, 2009. 548 p.
 
PÉLLICO NETTO, S.; BRENA, D. A. **Inventário Florestal**. Curitiba: editorado pelos autores, 1997. 316p.
 
QUEIROZ, W. T. **Técnicas de amostragem em inventário florestal nos trópicos**. Belém: FCAP. Serviço de Documentação e Informação, 1998. 147 p.

---

## 📖 Referências

SANQUETTA, C.R.; CORTE, A.P.D.; RODRIGUES, A. L.; WATZLAWICK, L.F. Inventários florestais: planejamento e execução. 4ª ed. Curitiba, PR. 2023. 406p.
 
SCOLFORO, J. R. S.; MELLO, J. M. de. Inventário Florestal. Lavras: UFLA/FAEPE, 1997. 341 p.
 
SOARES, C. P. B.; PAULA NETO, F. de; SOUZA, A. L. de. Dendrometria e inventário florestal. 2ª ed. - Viçosa, MG: Ed. UFV, 2011. 272 p.

---
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